Backlund transformations and exact time-discretization for Gaudin and related models

Abstract

La tesi tratta delle applicazioni delle trasformazioni di Bäcklund a sistemi integrabili finito-dimensionali. Ci si è proposti infatti di trovare le trasformazioni di Bäcklund per i modelli di Gaudin trigonometrico ed ellittico terminando un lavoro di ricerca che era stato iniziato circa dieci anni or sono con un lavoro di A. Hone, V. Kuznetsov e O. Ragnisco sulle analoghe trasformazioni nel caso del Gaudin razionale. Le trasformazioni ottenute possono essere facilmente estese a tutti i modelli integrabili generati tramite contrazione di Inönü-Wigner e coalescenza dei poli sui modelli di Gaudin: tra questi spiccano la trottola di Lagrange, la trottola di Kirchhoff e un sistema di Clebsch che descrivono sistemi ben noti in meccanica classica. Con tali costruzioni si è mostrato come le trasformazioni di Bäcklund costituiscono una discretizzazione esatta dei corrispondenti modelli continui e un concreto strumento di integrazione numerica, grazie alla natura esplicita delle trasformazioni, ma anche un possibile metodo di integrazione esplicita delle equazioni del moto, potendosi effettivamente ottenere tramite le trasformazioni la soluzione generale del problema continuo. Quest’ultima osservazione è stata sviluppata per la trottola di Kirchhoff.