COHERENT SHEAVES ON PRIMITIVE MULTIPLE CURVES AND THEIR MODULI

Abstract

Nella tesi si studiano, come suggerisce il titolo, fasci coerenti su curve multiple primitive e i loro spazi di moduli. Si dedica una particolare attenzione a i fasci di rango generalizzato n su una curva multipla primitiva di molteplicità n, dato che il loro spazio dei moduli costituisce una naturale compattificazione della Jacobiana della curva multipla primitiva, quando i fibrati lineari sono stabili, ovvero quando il grado del fascio conormale della curva ridotta nella curva multipla primitiva è negativo. Tra i fasci di rango generalizzato n sono particolarmente significativi i cosiddetti fibrati lineari generalizzati, ovvero i fasci senza torsione genericamente isomorfi al fascio strutturale della curva multipla primitiva. Questi sono gli unici fasci di rango generalizzato n il cui supporto schematico è proprio la curva multipla primitiva e non una sua sottocurva. In particolare, nella tesi si fornisce un teorema strutturale per i fibrati lineari generalizzati descrivendo esplicitamente ogni loro possibile spiga e mostrando che globalmente sono isomorfi al prodotto tensoriale di un fascio di ideali di rango generalizzato n per un fibrato lineare. Sono state anche fornite delle condizioni necessarie e sufficienti per la loro semistabilità in termini dei loro indici. Sono state descritte esplicitamente tutte le componenti dello spazio dei moduli contenenti fibrati lineari generalizzati ed è stata calcolata la dimensione generica dello spazio tangente allo spazio dei moduli in punti corrispondenti a fibrati lineari generalizzati. Un capitolo è dedicato allo studio degli altri fasci coerenti su curve multiple primitive con particolare attenzione a quelle di molteplicità 2 (note anche come nastri, in inglese ribbons); in particolare sono state stabilite condizioni necessarie e sufficienti per l'esistenza di un fascio semistabile quasi localmente libero di un dato tipo completo su un nastro e si è calcolata la dimensione dei loro luoghi all'interno dello spazio dei moduli. Sono anche state formulate e giustificate delle congetture su tutte le compenente irriducibili dello spazio dei moduli dei fasci semistabili su una curva multipla primitiva, con particolare attenzione al caso della Jacobiana compattificata.